matematikhileleri: Nisan 2019

a ∈ R ve n ∈ N⁺ olmak üzere, aⁿ ifadesine üslü ifade denir ve “a nın n. kuvveti” diye okunur. Bu ifadedeki a sayısına taban, n sayısına da üst denir. n tane a sayısının çarpımı anlamına gelir.

Bilgi: Yukarıdaki iki örnekte de görüldüğü gibi “Pozitif gerçek sayıların tüm kuvvetleri pozitiftir.” Buna göre,
m > 0 ise mⁿ > 0 dır.

Bilgi: Örneklerde de görüldüğü gibi “negatif sayıların tek kuvvetleri negatiftir.” Buna göre,
(m < 0 ve n tek sayı) ise mⁿ < 0 dır.

Bilgi: Örnekte de görüldüğü gibi “negatif sayıların çift kuvvetleri pozitiftir. Buna göre,
(m < 0 ve n çift sayı) ise mⁿ > 0 dır.

Bilgi:
1) n çift sayı olmak üzere,
(-a)ⁿ = aⁿ dir.

2) n tek sayı olmak üzere,
(-a)ⁿ = -aⁿ dir.

Bilgi
1. a sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere, a⁰ = 1 dir.
2. 0⁰ ifadesi tanımsızdır.
3. 1⁰ =1 dir. (n ∈ R)

a sıfırdan faklı bir geçek sayı olmak üzere,
a ve b sıfırdan farklı birer gerçek sayı olmak üzere,

Üslü İfadelerde Toplama İşlemi

Tabanları ve üsleri aynı olan ifadeler toplanırken, kat sayıların toplamı ile ortak olan üslü ifade çarpılır.

Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi

Tabanları eşit olan üslü ifadelerin çarpımında; üsler toplanır ve elde edilen ifade ortak tabanın üssü olarak yazılır.
Üsleri eşit olan Üslü ifadelerin çarpımında, tabanlar çarpımı ortak üssün tabanı olarak yazılır.
Üslü İfadelerde Bölme İşlemi
- Tabanları eşit olan üslü ifadelerin bölümünde; paydaki sayının üssünden paydadaki sayının üssü çıkarılır ve elde edilen ifade ortak tabanın üstü olarak yazılır.
- Üsleri eşit olan üslü ifadelerin bölümünü bulmak için; payın tabanı paydanın tabanına bölünür, ortak üs bölümün üssü olarak yazılır.
- a^m . aⁿ = a^m+^{Tabanları eşit olan ifadeler çarpılırken, üstler toplanır ve ortak tabanın üstü olarak yazılır}
- a^m . aⁿ = a^m+n^{Tabanları eşit olan ifadeler çarpılırken, üstler toplanır ve ortak tabanın üstü olarak yazılır}

Bir eşitsizliğin çözüm kümesi üç farklı yöntemle gösterilebilir. Bunlar;

1. Sayı Doğrusu (Grafik) Gösterimi
2. Küme Gösterimi
3. Aralık Gösterimi

Bu kısımda üç gösterimi aralık gösterimi ile birleştireceğiz.

Kapalı Aralık ve Açık Aralık

a, b, x ∈ R ve a < b olsun. Uç noktaların (a ve b nin) aralığa dahil olduğu kümeler a ≤ x ≤ b kapalı aralık olarak adlandırılır ve [a, b] şeklinde
gösterilir.

Uç noktaların (a ve b nin) aralığa dahil olmadığı kümeler a < x < b açık aralık olarak adlandırılır ve (a, b) şeklinde gösterilir.

Yarı Açık Aralık

a, b, x ∈ R ve a< b olsun. Uç noktalardan birinin aralığa dahil olmadığı kümeler (a < x ≤ b ya da a ≤ x < b) yarı açık aralık olarak adlandırılır ve (a, b] ya da [a, b) şeklinde gösterilir.

(-∞, +∞) aralığı ile gerçek sayılar kümesi ifade edilir. Diğer bir ifadeyle, R = (-∞, +∞) olur.

Bir eşitliğin her iki yanına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a = b ise a+c = b+c ve a – c = b – c olur.
Bir eşitliğin her iki yanı sıfırdan farklı bir sayı ile çarpılabilir. Bu durumda eşitlik değişmez.
a=b ise a.c = b.c olur.

a ve b gerçek sayı ve a sıfırdan farklı olmak üzere ax+b=0 ifadesine birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan x değerine denklemin kökü ve ve bu değerlerin oluşturduğu kümeye de denklemin çözüm kümesi denir.

ax+b=0 denkleminde;

a sıfırdan farklı olduğunda denklemin bir tek çözümü vardır.
Eşitsizlik Nedir?

Bir niceliğin diğer bir nicelikten büyük veya küçük olma durumunu belirten ifadelere ise eşitsizlikdenir. Eşitsizliklerin ifade edilmesinde >, ≥, <, ≤ sembolleri kullanılır.

ax + b > 0 , ax + b ≥ 0 , ax + b < 0 , ax + b ≤ 0 şeklinde ifade edilebilen eşitsizliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlikler denir. 2x – 3 > 5 , x – 2 < 0 , 25 – a ≤ 3a ifadeleri birinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklere birer örnektir. Denklemler ve eşitsizlikler, gerçek hayat durumlarının matematiksel olarak ifade edilmesinde ve incelenmesinde kullanılır.

Bir denklemde/eşitsizlikte değişkenin bazı değerleri eşitliği/eşitsizliği sağlayabilirken bazıları sağlamayabilir. Denklemi/eşitsizliği sağlayan sayıların kümesine o denklemin/eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

Eşitsizliğin özellikleri
a ile b sıfır ise denklemin çözümü sonsuz elemanlı yani gerçek sayılardır.
a sıfır ve b sıfırdan farklı ise denklemin çözümü yoktur yani çözüm kümesi boş kümedir.
Mutlak Değer Nedir Tanımı

Sayı doğrusu üzerindeki herhangi bir x reel sayısının başlangıç noktasına (orjin) olan uzaklığına x sayısının mutlak değeri denir ve |x| ile gösterilir. Mutlak değer uzaklık belirttiğinden dolayı her zaman pozitif bir gerçek sayıya eşittir. Buradan anlaşılacağı üzere pozitif ifadelerin mutlak değeri kendisine, negatif ifadelerin mutlak değeri ise ters işaretlisine (başına eksi yazılır) eşittir. Yine mutlak değer uzaklık belirttiği için alabileceği en küçük değer sıfırdır.

Örneğin;
|-5| = 5,
|7| = 7,
|0| = 0,
|-12| = 12 olur.

Bilgi: Mutlak değerin içindeki ifadenin değeri pozitif ise mutlak değerin dışına aynen çıkar, negatif ise önüne (-) alarak çıkar.

şeklinde gösterebiliriz. Her x reel sayısı için |x| ≥ 0 olur.

Örneğin;
|7| = 7,
|-4| = -(-4) = 4,
|√2 – 1| = √2 – 1 (√2 > 1 olduğuna dikkat edin.)
|√3 – 2| = -(√3 – 2) = -√3 + 2 (√3 < 2 olduğuna dikkat edin.)

Mutlak Değerin Özellikleri

Uyarı: |f(x)| = g(x) şeklindeki ifadelerde f(x) = g(x) ve f(x) = -g(x) denklemleri çözülüp bulunan x değerlerinin denklemi sağlayıp sağlamadığı kontrol edilmelidir.
a, b ve c sabit gerçek sayılar, a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, x ve y değişkenleri için ax + by = c şeklinde yazılan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem denir.Değişkenleri birinci dereceden ve aynı olan birden fazla denklem grubuna ise birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemi denir. Bir denklem sisteminin çözüm kümesi, bu iki denklemi aynı anda sağlayan (x, y) sıralı ikilileridir.a, b ve c sabit gerçek sayılar ve a ve b sıfırdan farklı olmak üzere, ax + by ≤ c şeklinde yazılan ifadelere birinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik denir. ≤ sembolü yerine >, <, veya ≥ sembolleri de yazılabilir.)

Bir eşitsizliği sağlayan (x, y) sıralı ikilisine o eşitsizliğin bir çözümü denir. Eşitsizliği sağlayan bütün sıralı ikililere ise eşitsizliğin çözüm kümesi denir ve grafik üzerinde taralı bölge olarak gösterilir.

Eşitsizliklerin Grafik Çizimi
- Eşitsizlik sembolünü “=” sembolüne çevirerek bir denklem elde edilir. Bu denklemin grafiği çizilir. <, > sembolleri için kesikli çizgi, ≥, ≤ sembolleri için grafik düz çizgi olarak çizilir.
- Denklem grafiğinin iki bölgeye ayırdığı koordinat düzleminin herhangi bir tarafından bir nokta alınıp eşitsizlikte yerine koyarak sağlayıp sağlamadığını kontrol edilir.
Genel olarak doğrunun grafiği orijinden geçmiyorsa, (0, 0) noktası test noktası olarak alınabilir.
- Test edilen nokta eşitsizliği sağlıyorsa noktanın bulunduğu bölge, sağlamıyorsa diğer bölge taranır.
Örnek 1

Örnek 2

Örnek 3

Eşitsizlik Sistemleri

Denklem sistemlerinde olduğu gibi, değişkenleri aynı olan birden fazla eşitsizliğe eşitsizlik sistemi denir. Eşitsizlik sisteminin çözüm kümesinde bulunan (x, y) sıralı ikililerinin, ortak bir çözüm olması için sistemde bulunan her eşitsizliği sağlamalıdır.

Örnek 4

Örnek 5

Örnek 6

Örnek 7